第二篇 導數.導函數.微分公式

(A)  函數之極限

(1)   設 為一函數，若x趨近定值a時，
如果 會趨近一定數A時，稱A為 在x=a之極限。
以記號 表示；
又如果 而 不趨近一定值時，則 不存在。

(2)   當 則 趨近 ，
則為不能判斷之不定型，
則進一步化簡(變化) 使 為定值或判斷出不存在。

(B)導數與導函數：

(1)   導數的定義：
設 為一函數，若 存在，
其極限稱為 在x=a之導數，

      以 表示，此時稱 在x=a可微分。

(2)   導函數

(3)   若函數 在 x=a 處有導數，則 。

【註】：求得導函數 ，吾人求x=a處之導數，便是直接以 x=a 代入 而得。

(C)微分公式：

【註】： 之簡寫，其餘類推…。

 (D)連鎖規則及隱函數之微分

(1)   連鎖規則：

(2)   隱函數之微分
化為y=f(x)不易時，
直接視y為x之函數求出

(E)繪圖與極值

y=f(x)再區間 之每一個元素 h 滿足：

(1)   由 y = f(x)之 正負判斷遞增或遞減：

1. 若 表示在區間 為右上升。

2.  若 表示在區間 為右下降。

3.  若 表示在 點之切線為水平切線。

(2)   凹口向上或向下：

1.  若 表示在 區間內，圖形凹性向上。

2.  若 表示在 區間內，圖形凹性向下。

3.  若 表示在 處圖形為反曲點。

(3)   判斷極值位置：

       1.  先求 ， ，再由求出可能為極值之，
      又由之解看出反曲點位置。

       2.  若 且 ， ，
      則 在 處產生極大，而極大值 。

      若 且 ， ，
      則 在 處產生極小，而極小值 。

       3.  若 ， ，
        則 在 處產生極大，而極大值 。

        若 ， ，
        則 在 處產生極小，而極小值 。

(4)描點：實際求出一些 點，連接描畫之曲線。

(F)曲線之切線斜率：

(1) 處之切線斜率為

(

(G)二次曲線之切線:

(1)   之切線為

(2)    已知切線過某一點 ，而二次曲線 =0則應

    (a)    檢查 上，如已經在 上，則可用切線公式

    (b)  上，可令切線為

            則 有重合交點   (消去一變數可得等根，求出    m    )

(3)以知切線之二次曲線之切線:當切線之斜率為時知切線公式

註：若 表斜率之方向無切線