第二冊 第四章 平面向量
(A)向量定義:
(1) 有向線段及向量: 若A、B是相異的兩點,線段 賦與游A到B的方向後, 就稱為是由A到B的有向線段,記為 ,簡稱為向量
(2) 有向線段之始點、終點、長: 向量 的A叫始點,B叫終點,A,B兩點的距離 (或 之長)叫 之長,以 表示。
(3) 零向量: A=B時,稱 為零向量,可用 或 表示。
(4) 若O為原點,A之座標為(a,b),
則 可用(a,b)表示,即 =(a,b)
(5) 若A 則 可用 表示
【注意】:(終點)-(起點)
(6) ,則 之長=
,而a叫 之x分量,b叫 之分量。
(7)
(B)方向角:
(1) 與x軸用向所夾之角 之
方向角,其中
(2)方向角:
(3) ,方向角為θ,
則
(C)向量加法:
(1) :
設 是任意兩個向量,點X使向量 ,
則稱向量 為向量 與向量 的和,記做
(2)若 ,則
(3)對任意向量 ,我們定義
(4) ,則
(註):
(D)係數積:
(1)
1. r>0 與 同方向且長度為原來r倍
2. r<0 與 反方向且長度為原來r倍
3. r=0 =0
(2) 向量係數積之座標表示:
設 ,則
(3) 向量係數積之基本性質:
1.
2. ( 為向量)
3.
(E)分點公式:
(1) A-P-B且 ,O為任意一點,
(2)A-B-P(或P-A-B)且 ,O為任意一點,
(F)面積比:
若l,m,n 且
(註):若l,m,n同號,則在 ABC內部,若l,m,n不同號, 則P在△ABC外部。
(G)共線:
(1) A,B,C為三點 。
(2) 設A,B,C為三點,O為任一點,x、y R且 ,
則A,B,C共線 x + y = 1
(H)內積:
(I)平行與垂直(a≠0、b≠0)
(2)
(3)
而
(J)投影與投影量:
(1) 在單位向量 之正射影
(其中 之夾角)
(2) 同向之單位向量
(3) 在 之正射影
(4) 在 之正射影亦稱 在 之分向量
或 在 之投影,而 稱為在之分量(投影量)
(5) 在( 之諸平行向量)之投影(分向量)均相等。
(K)科西-史瓦滋不等式:
(1)設 任二向量,則
(2)若
(3)
(L)三角形之五心:
(1) 令O、A、B不共線,
(2) 若
則 面積=
(2) 則S之面積 , 其他不同之 、 限制,由作圖後求之。
(1)點向式:設直線L過 且與向量 =(a ,b)平行
(2)點向式之推論:
,則L有一垂直向量(法向量)
為 , 有一平行向量
又垂直L之直線之參數式可為
過 又平行L之直線之參數式可為
(3)兩點是: ,則
之參數式可為
(1) 而交角為 及 ,
則cos =
(2) 若 及 之斜率分別為 、 交角 及 ,則
(但若 =0則互相垂直)
(3) 若 表相交二線,交角 及 ,
則 (當 =0時,二線垂直)
【註】:由 推之。
(1) P點到L線之距離
=P到(P到L之投影點Q)之距離
(2) , 則 P 到 L 之距離 d
(理由):令 為 L 上某一點 , 為 與 之交角,則
(1) 同側與反側
2、若 在L: 之反側
(2) : 、 :
則 之交角平分線為
即
(註): 表通過同號側之交角平分線。
表通過異號側之交角平分線。
(3)
1、 : 、 :
則兩線交角平分線為 (兩條)
2、已知二條線之斜率為 、 ,交角平分線之斜率為
(S)投影點與對稱點:
(1)對稱點公式:
設 表一直線L, ,
A在L之投影點的座標為
A在L之對稱點的座標為
(註):本公式之證明利用投影點 帶入L,求 t
(2) 最小值求法。
1、異側型:若A、B在L異側,則 之最小值=
2、同側型:若A、B在L同側,則 =
∴ 最小值=
(3) 之最大值求法:
1、若A、B在L之同側,則 之最大值=
2、若A、B在L異側,則 之最大值=
(4) 之最小值求法:
1、若A、B在L之同側,最小值=
2、若A、B在L之異側,最小值=
3、利用參數式驗L上取一動點 再求 化為t之二次式,配方求t 求P。