第二冊 第四章 平面向量

(A)向量定義:

(1)   有向線段及向量:
AB是相異的兩點,線段 賦與游AB的方向後,
就稱為是由AB的有向線段,記為 ,簡稱為向量

(2)   有向線段之始點、終點、長:
向量 A叫始點,B叫終點,AB兩點的距離
( 之長) 之長,以 表示。

(3)   零向量:
A=B
時,稱 為零向量,可用 表示。

(4)   O為原點,A之座標為(a,b)

可用(a,b)表示,即 =(a,b)

(5)   A 可用 表示

【注意】:(終點)-(起點)

(6) ,則 之長=

   ,而a x分量,b 之分量。

(7)

(B)方向角:

(1) x軸用向所夾之角

  方向角,其中

(2)方向角:

(3) ,方向角為θ,

 

 

C)向量加法:

(1)

   是任意兩個向量,點X使向量

   則稱向量 為向量 與向量 的和,記做

(2) ,則

(3)對任意向量 ,我們定義

(4) ,則

   ()

            

 

D)係數積:

(1)  

1.      r0 同方向且長度為原來r

2.      r0 反方向且長度為原來r

3.      r0 0

(2)   向量係數積之座標表示:

,則

(3)   向量係數積之基本性質:

1.     

2.      ( 為向量)

3.     

 

(E)分點公式:

(1)   A-P-B且 O為任意一點,

(2)A-B-P(或P-A-B) O為任意一點,

 

 

(F)面積比:

l,m,n

():若l,m,n同號,則在 ABC內部,若l,m,n不同號,
PABC外部。

(G)共線:

(1)   ABC為三點

(2)   ABC為三點,O為任一點,xy R

ABC共線 x + y = 1

(H)內積:

(I)平行與垂直(a0b0)


(1)

(2)

(3)

 

 

(J)投影與投影量:

(1)   在單位向量 之正射影

      (其中 之夾角)

(2) 同向之單位向量

(3) 之正射影

    

(4) 之正射影亦稱 之分向量

     或 之投影,而 稱為在之分量(投影量)

(5) ( 之諸平行向量)之投影(分向量)均相等。


(K)科西-史瓦滋不等式:

(1)設 任二向量,則

(2)若

   則

    且等式成立

(3)

(L)三角形之五心:


(M)面積:

(1)    OAB不共線,

(2)   

(3)

       則 面積=

N)二向量線性組合之終點圖形:
(1) 
表一直線。
    (可由滿足 之二組 * 求出兩點,連接之)

(2) 
    則S之面積
    其他不同之 限制,由作圖後求之。

(O)直線之參數式:

(1)點向式:設直線L過  且與向量 =(a b)平行

            L之方程式

(2)點向式之推論:

          ,則L有一垂直向量(法向量)

         為 有一平行向量

         又垂直L之直線之參數式可為

            過 又平行L之直線之參數式可為

(3)兩點是: ,則

            之參數式可為

(P)直線之交角:

(1)     而交角為

      則cos =

(2)  若 之斜率分別為 交角

      (但若 =0則互相垂直)

(3)  若 表相交二線,交角

      則 (當 =0時,二線垂直)

【註】:由   推之。

(Q)點到距離:

(1)   P點到L線之距離

=P(PL之投影點Q)之距離

        (RL之垂直向量之交角)

(2)   P L 之距離 d

     則

     (理由):令 L 上某一點 之交角,則

       

(R)交角平分線:

(1)    同側與反側

        1、若 在  L 之同側

        2、 L 之反側

               

(2)

                 則 之交角平分線為  

                 即 

(註): 表通過同號側之交角平分線。

                表通過異號側之交角平分線。

 

(3)

        1、

              則兩線交角平分線為  (兩條)

        2、已知二條線之斜率為 ,交角平分線之斜率為

                則

(S)投影點與對稱點:

(1)對稱點公式:

          設 表一直線L,

         A在L之投影點的座標為

         A在L之對稱點的座標為

         (註):本公式之證明利用投影點 帶入L,求 t

(2) 最小值求法。

        1、異側型:若A、B在L異側,則 之最小值=

          2同側型:若A、B在L同側,則

                                  最小值=

(3) 之最大值求法:

        1、若A、B在L之同側,則 之最大值=

          2、若A、B在L異側,則 之最大值=

(4) 之最小值求法:

       1、若A、B在L之同側,最小值=

          2、若AB在L之異側,最小值=

          3、利用參數式驗L上取一動點 再求
化為t之二次式,配方求t 求P。