第三冊 第四章 圓錐曲線

(A)  圓錐曲線定義:

(1)拋物線:

1.      F為定點,L為直線,F L 稱為拋物線,

      L稱為準線,F稱為焦點。

2.      F L,則圖形表直線。

(2)橢圓:FF’為相異二點,2a為正數, ,則

       1.   為一橢圓,FF’稱為其二焦點

       2.    為一線段( )

       3.   為無圓形( )

(3)雙曲線:

    設FF’為二相異點,2a為正數,

  

 

(B)拋物線之標準式

(1)

    頂點(0,0),焦點F(c,0),準線x=-c,軸y=0

    平移 =(h,k)後得(y-k)2=4c(x-h)

    頂點(h,k),焦點(h+c,k),準線:x-h=-c,軸y-k=0

(2)

    頂點(0,0),焦點(0,-c),線y=-c,軸:x=0

    平移 =(h,k)後得(x-h)2=4c(y-k)

    焦點(h,k+c),準線:y-k=-c,x-h=0

 

(C)橢圓之標準式

(1)方程式

    則1.C2=a2-b2

2.長軸 的長為2a

短軸 的長為2b

3.中心為 ( h , k )  4.焦點為( h ± a , k)

5.頂點為 ( h , k ± b )( h ± a , k )

6.對稱軸為 x — h = 0 y — k = 0

7.正焦旋長為

(2)方程式

    1.C2=a2+b2

         2.長軸 的長為2a

           短軸 的長為2b

          3.中心為 ( h , k ) 

         4.焦點為 ( h , k ± c )

          5.頂點為 ( h , k ± a )( h ± b , k )

          6.對稱軸為 x — h = 0 y — k = 0

          7.正焦弦長為

(D)雙曲線之標準式

(E)二次曲線之參數式:

(F)拋物線性質:

(1)   拋物線上任一點到焦點到準線等距。

(2)   之正焦弦長4 | c |

(3)   拋物線正焦弦長=4d(焦點,準線)

(4)  

圖形為拋物線,其正焦弦長

(5) 軸不為水平,鉛直方向之拋物線:

若焦點 ,準線:ax+by+c=0

,則此拋物線方程式為

(6)以焦弦(過焦點之弦)為一直徑之圓,   必與準線相切。

(G)橢圓之性質:

(1)   橢圓之二焦點介於二長端點(頂點之間)

(2)   橢圓上任一點二焦點距離和等於長軸之長

(3)   共焦點之橢圓

可設為

(4)   之面積

(5)   之內接矩形之最大面積為

     內接正方形之面積為 ,內接最大周長

(6)   橢圓 之外切菱形之最小面積

(H)雙曲線之性質:

(1)   雙曲線上任一點到二焦點之距離差等於貫軸長

(2)   雙曲線之二頂點(貫軸端點)介於二焦點之間

(3)   與共焦點之錐線可設為

(4)   之漸近線為 ;

之漸近線為 ;

反之,漸近線為 之雙曲線,

其方程式可設為

(5)   雙曲線 ( )上任一點

      到二漸近線距離之積

(6)   雙曲線 ( )上任一點 ,過 作二漸近線之平行線,
則與二漸近線之平行線四邊形面積為

      而過 之任一切線與二漸近線圍成之三角形面積為

(7) 共軛軸之長等於貫軸之長之雙曲線叫等軸雙曲線。

     一雙曲線為等軸 二漸近線互相垂直 *三長相等

      (貫軸長=共軛軸長=正焦弦長)

(8) 互為共軛雙曲線

 

(I)錐線之弦:


(1)   二次曲線 之弦中點為

,則弦之直線方程式為由

次式便是(或由根與係數),先求弦之斜率)

(2)   求弦長:求ymxk 之交點A,B

1、

  

2、利用(b)及根與係數關係代入(a),求

(J)錐線之切線:


(1)   二次曲線與一直線恰有一交點之直線(解聯立,消去y後之判別式為0)

(2)   切點已之為 ,二次曲線F

    ():若PF外部,則L為過P之二切線之切點連線方程式。

(3)   切線斜率m之切線

1.

2.

3. (包括圓)

4.

5.