第三冊 第四章 圓錐曲線
(A) 圓錐曲線定義:
(1)拋物線:
1. 設F為定點,L為直線,F L, 稱為拋物線,
L稱為準線,F稱為焦點。
2. 若F L,則圖形表直線。
(2)橢圓:F、F’為相異二點,2a為正數, ,則
1. 為一橢圓,F、F’稱為其二焦點
2. 為一線段(即 )
3. 為無圓形(即 )
(3)雙曲線:
設F、F’為二相異點,2a為正數,
(B)拋物線之標準式
(1) :
頂點(0,0),焦點F(c,0),準線x=-c,軸y=0,
平移 =(h,k)後得(y-k)2=4c(x-h),
頂點(h,k),焦點(h+c,k),準線:x-h=-c,軸y-k=0
(2) :
頂點(0,0),焦點(0,-c),線y=-c,軸:x=0,
平移 =(h,k)後得(x-h)2=4c(y-k),
焦點(h,k+c),準線:y-k=-c,軸x-h=0
(C)橢圓之標準式
(1)方程式
則1.C2=a2-b2
2.長軸 的長為2a,
短軸 的長為2b,
3.中心為 ( h , k ) 4.焦點為( h ± a , k)
5.頂點為 ( h , k ± b ),( h ± a , k )
6.對稱軸為 x — h = 0, y — k = 0
7.正焦旋長為
(2)方程式
則 1.C2=a2+b2
短軸 的長為2b
3.中心為 ( h , k )
4.焦點為 ( h , k ± c )
5.頂點為 ( h , k ± a ),( h ± b , k )
6.對稱軸為 x — h = 0 , y — k = 0
7.正焦弦長為
(D)雙曲線之標準式
(E)二次曲線之參數式:
(F)拋物線性質:
(1) 拋物線上任一點到焦點到準線等距。
(2) 及 之正焦弦長4 | c |
(3) 拋物線正焦弦長=4d(焦點,準線)
(4) 或 之
圖形為拋物線,其正焦弦長
(5) 軸不為水平,鉛直方向之拋物線:
若焦點 ,準線:ax+by+c=0
,則此拋物線方程式為
(6)以焦弦(過焦點之弦)為一直徑之圓, 必與準線相切。
(G)橢圓之性質:
(1) 橢圓之二焦點介於二長端點(頂點之間)
(2) 橢圓上任一點二焦點距離和等於長軸之長
(3) 與 共焦點之橢圓
可設為
(4) 之面積
(5) 之內接矩形之最大面積為 ,
內接正方形之面積為 ,內接最大周長
(6) 橢圓 之外切菱形之最小面積
(H)雙曲線之性質:
(1) 雙曲線上任一點到二焦點之距離差等於貫軸長
(2) 雙曲線之二頂點(貫軸端點)介於二焦點之間
(3) 與 與共焦點之錐線可設為
(4) 之漸近線為 ;
之漸近線為 ;
反之,漸近線為 及 之雙曲線,
其方程式可設為
(5) 雙曲線 上(或 )上任一點
到二漸近線距離之積
(6) 雙曲線 ( )上任一點 ,過 作二漸近線之平行線, 則與二漸近線之平行線四邊形面積為 ,
而過 之任一切線與二漸近線圍成之三角形面積為
(7) 共軛軸之長等於貫軸之長之雙曲線叫等軸雙曲線。
一雙曲線為等軸 二漸近線互相垂直 三長相等
(貫軸長=共軛軸長=正焦弦長)
(8) 與 互為共軛雙曲線
(I)錐線之弦:
(1) 二次曲線 之弦中點為
,則弦之直線方程式為由 及
次式便是(或由根與係數),先求弦之斜率)
(2) 求弦長:求y=mx+k與 之交點A,B,
1、令
2、利用(b)及根與係數關係代入(a),求 。
(J)錐線之切線:
(1) 二次曲線與一直線恰有一交點之直線(解聯立,消去y後之判別式為0)
(2) 切點已之為 ,二次曲線F:
(註):若P在F外部,則L為過P之二切線之切點連線方程式。
(3) 切線斜率m之切線
1.
2.
3. (包括圓)
4.
5.