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化圓為方問題…窮竭法的提出
化圓為方問題（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希臘 人提出的三大幾何作圖問題之一，即求作一個正方形，使其面積等於已知圓的面積。其難度 在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺（沒有刻度，只能作直線的 尺）和圓規。最早研究這問題的是安納薩戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入獄，在獄中 潛心研究化圓為方問題，可惜他的結果失傳了。以後著名的研究者更有希波克拉底、安提豐 、希皮亞斯等人。
尺規作圖問題曾吸引許多人研究，但無一成功。化圓為方問題，實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。１８８２年法國數學家林 德曼（１８５２－１９３９）證明了π是超越數，同時證明了圓為方問題是尺規作圖不可能 的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位，則尺規可作的線段長必為代數數 。而化圓為方問題相當於求作長為√π的線段，但√π並非代數數，故此尺規不可作。
二千年間，儘管對化圓為方問題上的研究 沒有成功，但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前４３０）為解決此問題而提出的 「窮竭法」，是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形（或正６邊形），然後每次 將邊數加倍，得內接８、１６、３２、…邊形，他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合， 這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導，與中國劉徽的割圓術不謀而合，對窮竭法等科學方法的建立產生 直接影響。
其實，若不受尺規的限制，化圓為方問題並非難事，歐洲文藝復興時代的大師芬蘭數學家達芬奇（１４５２－１５１９）用已知圓為底，圓半徑的１卅２為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖，
所以所得矩形的面積＝ｒ卅２．２πｒ＝πｒ2 ，然後再將矩形化為等積的正方形即可。 |
